思いついたときに書く日記

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円周率=4が正しくないことについて考える

shelfallさんという方の円周率が4であることを証明する動画が人気という記事を読みました。

originalnews.nico

 

円周率=4になることの証明

この動画での証明は、半径2で直角の扇型の円周から証明しています。

最初に公式から円周を求めます。

円周は直径掛けるπ(3.14)なので、その1/4になる半径2の扇形の円周は4*π*1/4でπになります。

もう一つ別の方法で扇型の円周を求めます。

円周上のある点から、外接する正方形にそれぞれ垂線を下ろし、階段状になった部分の長さの総和を求めると4になります。

この階段を細かくしていくと、ほぼ円に近い形になります。階段をいくら細かくしても階段の長さの総和は常に4なので、階段を細かくして求めた円周の長さは4。

つまり円周率πは4と言えるという証明です。

 

円周率=4にならないことの証明

何かがおかしいと思うけれど、ここが違うと簡単に説明ができない...。気になって眠れなくなってしまったので、私なりに考えてみました。

階段を細かくすると円に近くなるという部分を、数式に置き換えて考えてみます。

階段を細かくするというのは、扇型を等間隔にn等分した状態と考えていいのかなと思います。

 

n等分された1つの扇型に着目すると、その扇型の角度はπ/2nです。

扇型1つ分の階段の長さは2sin(π/2n)+2-2cos(π/2n)になります。

扇型はn個に等間隔に分割しているので、階段の長さの合計はn*(2sin(π/2n)+2-2cos(π/2n))になります。

階段を限りなく円に近づけるためにはnが十分大きな数(無限)になる必要があるので、n*(2sin(π/2n)+2-2cos(π/2n))のnを無限にした時の値を求めることになります(極限の計算をする)。

これを求めると結果はπとなり、円周率は4にはならないと言えるのではと考えました。

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これで証明になっているのかな...高校数学の問題かなと思うけれど、久しぶりに思い出したので、自信がない...(結構忘れてしまうものだなと思う)

 

具体的に式を立てて求めてみると4にはならないと言えそうな気はしますが、あの証明のどこが問題なのか納得のできる説明までできていないところにモヤモヤが残ります。

 

この証明は間違っているとか、もっと良い証明をご存知でしたら教えていただけると参考になります(私の中のモヤモヤがスッキリします)。